Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea:
Isso significa que a equação pode ser simplificada usando uma substituição que torne os termos mais fáceis de manipular. Vamos usar a substituição
, que é comum para equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 4
Agora, vamos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar.
Passo 5
Vamos separar as variáveis:
Agora, integraremos ambos os lados:
Passo 6
Calculando as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Juntando as duas integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Tomando o logaritmo natural para isolar
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine a solução geral das EDOs lineares de
ordem abaixo:
;
Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo:
.
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(a) .
(a)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
© .
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