Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea:
Isso significa que a equação pode ser simplificada usando uma substituição que torne os termos mais fáceis de manipular. Vamos usar a substituição , que é comum para equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de :
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Substituímos e na equação original:
Simplificando os termos:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 4

Agora, vamos simplificar dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para integrar.

Passo 5

Vamos separar as variáveis:
Agora, integraremos ambos os lados:

Passo 6

Calculando as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Juntando as duas integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por -2:
Tomando o logaritmo natural para isolar :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das EDOs lineares de ordem abaixo: ;
Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo: .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(a) .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
© .