Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial homogênea de primeira ordem. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição que transforma a equação em uma forma mais simples, e também entender como resolver equações separáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando a substituição . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Substituindo e na equação original, temos:
Vamos distribuir e simplificar os termos:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 4

Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Isolando :
Simplificando ainda mais usando a identidade :

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial separável:
Podemos separar as variáveis e :
Lembrando que , a equação fica:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
Sabendo que e , temos:
Podemos reescrever isso como:
onde é uma constante.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Isolando :
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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