Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial homogênea de primeira ordem. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição que transforma a equação em uma forma mais simples, e também entender como resolver equações separáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando a substituição
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original, temos:
Vamos distribuir e simplificar os termos:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Isolando
:
Simplificando ainda mais usando a identidade :
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Podemos separar as variáveis
e
:
Lembrando que
, a equação fica:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Sabendo que e
, temos:
Podemos reescrever isso como:
onde
é uma constante.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Isolando :
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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