As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(a) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para todos os números reais, e precisamos verificar se é possível definir a função inversa para ela. Se for possível, vamos encontrar a definição dessa função inversa. Estamos trabalhando com funções inversas, então vamos precisar saber como identificar se uma função é inversível e, se for, como encontrar sua inversa.

Passo 2

Para que uma função tenha uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, precisa ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). No caso de funções lineares como , onde , elas sempre são injetoras e sobrejetoras quando definidas em todos os números reais.
No nosso caso, tem , que é diferente de zero. Portanto, a função é invertível.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função inversa . Para isso, seguimos os seguintes passos:
  1. Escrevemos a equação da função:
  2. Resolvemos essa equação para :
  3. Trocamos por para obter a função inversa:
    Portanto, a função inversa é:

Resposta

A função inversa de existe e é dada por:

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Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo: ;
Determine a solução geral das EDOs lineares de ordem abaixo: ;
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
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As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(d) .