Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial de 1ª ordem para resolver:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais homogêneas de 1ª ordem. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a equação, transformando-a em uma forma que a gente consiga integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Isso significa que podemos fazer uma substituição onde . Essa substituição ajuda a simplificar a equação, já que será uma função de .

Passo 3

Com a substituição , podemos expressar como . Agora, vamos derivar em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar .

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando:
Os termos se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por e por :
Sabemos que , então a equação fica:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
A integral de é , e a integral de é . Então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo:
Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo:
Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo: .
Determine a solução geral das EDOs lineares de ordem abaixo: ;