Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial de 1ª ordem para resolver:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais homogêneas de 1ª ordem. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a equação, transformando-a em uma forma que a gente consiga integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Isso significa que podemos fazer uma substituição onde
. Essa substituição ajuda a simplificar a equação, já que
será uma função de
.
Passo 3
Com a substituição
, podemos expressar
como
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos
se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por
e por
:
Sabemos que
, então a equação fica:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de
é
, e a integral de
é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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ordem abaixo:
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