Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de separação de variáveis. Vamos precisar manipular a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
, para então integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a equação de forma a facilitar a separação. Observe que:
Podemos fatorar os termos:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Assim, conseguimos isolar os termos de
de um lado e os de
do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação:
Vamos calcular essas integrais.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 6
Vamos igualar as integrais e simplificar as constantes de integração:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral da equação diferencial:
Onde
é uma constante que pode ser determinada com uma condição inicial, se fornecida.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Determine a solução geral das EDOs lineares de
ordem abaixo:
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Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis:
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