Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de separação de variáveis. Vamos precisar manipular a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem , para então integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a equação de forma a facilitar a separação. Observe que:
Podemos fatorar os termos:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Assim, conseguimos isolar os termos de de um lado e os de do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação:
Vamos calcular essas integrais.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Aqui, e são constantes de integração.

Passo 6

Vamos igualar as integrais e simplificar as constantes de integração:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Podemos reescrever como uma nova constante :

Passo 8

Finalmente, isolamos para obter a solução geral da equação diferencial:
Onde é uma constante que pode ser determinada com uma condição inicial, se fornecida.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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