Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Isso se trata de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar e encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão:
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. A fórmula para o fator integrante é:
Então, vamos calcular a integral de
:
Fazendo uma substituição simples
, temos
, ou seja,
. Substituindo:
Portanto, o fator integrante é:
(Assumindo que
para simplificar.)
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o segundo termo:
Então, a equação fica:
Isso pode ser reescrito como:
Porque o fator integrante foi escolhido justamente para tornar a equação exata.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Isolando
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre uma equação cartesiana para a curva representada pela equação polar dada.
(a) .
(a)
Em cada item, determine as coordenadas polares com
e
do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(h) .
(h)
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(a) .
(a)
Determine a solução geral das EDOs: