Resolva as equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Isso se trata de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar e encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão: . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Então, vamos calcular a integral de :
Fazendo uma substituição simples , temos , ou seja, . Substituindo:
Portanto, o fator integrante é:
(Assumindo que para simplificar.)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o segundo termo:
Então, a equação fica:
Isso pode ser reescrito como:
Porque o fator integrante foi escolhido justamente para tornar a equação exata.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Isolando :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Em cada item, encontre uma equação cartesiana para a curva representada pela equação polar dada.
(a) .
Em cada item, determine as coordenadas polares com e do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(h) .
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(a) .
Determine a solução geral das EDOs: