Resolva as equações diferenciais:
y' + x/(x^2 - 9) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Isso se trata de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar e encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão: . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Então, vamos calcular a integral de :
Fazendo uma substituição simples , temos , ou seja, . Substituindo:
Portanto, o fator integrante é:
(Assumindo que para simplificar.)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o segundo termo:
Então, a equação fica:
Isso pode ser reescrito como:
Porque o fator integrante foi escolhido justamente para tornar a equação exata.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Isolando :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

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