Determine a solução geral das EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você enviou:

A gente vai precisar usar o conteúdo de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de coeficientes constantes. Para isso, vamos encontrar a solução geral dessa EDO seguindo alguns passos.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial que é homogênea e de segunda ordem. Ela tem a forma:

Onde, no nosso caso, e .

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, a gente vai achar a equação característica associada. A equação característica é uma equação quadrática que nos ajuda a encontrar as soluções da EDO. A equação característica fica assim:

Substituindo os valores de e , temos:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:

No nosso caso, , , e :
Calculando o discriminante:

Então:
Isso significa que temos uma raiz real dupla .

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais iguais ( ), a solução geral da EDO é dada por:

Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Em cada item, determine as coordenadas polares com e do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(a) .
Determine qual ou quais das funções e são soluções da equação
Em cada item, determine as coordenadas polares com e do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(f) .
Resolva a EDO, fazendo a mudança de variável sugerida: