Determine a solução geral das EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você enviou:
A gente vai precisar usar o conteúdo de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de coeficientes constantes. Para isso, vamos encontrar a solução geral dessa EDO seguindo alguns passos.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial que é homogênea e de segunda ordem. Ela tem a forma:
Onde, no nosso caso,
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, a gente vai achar a equação característica associada. A equação característica é uma equação quadrática que nos ajuda a encontrar as soluções da EDO. A equação característica fica assim:
Substituindo os valores de
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
No nosso caso,
Calculando o discriminante:
Então:
Isso significa que temos uma raiz real dupla
.
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais iguais (
), a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Em cada item, determine as coordenadas polares com
e
do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(a) .
(a)
Determine qual ou quais das funções
e
são soluções da equação
Em cada item, determine as coordenadas polares com
e
do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(f) .
(f)
Resolva a EDO, fazendo a mudança de variável sugerida: