Resolva a EDO, fazendo a mudança de variável sugerida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu. A equação é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) e vamos usar uma mudança de variável para simplificar a resolução. Vamos precisar conhecer um pouco sobre substituição de variáveis e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a troca de variável sugerida. Definimos , o que significa que .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a usando a regra do produto:

Passo 4

Substituímos na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Isolamos :
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Agora temos uma equação que podemos separar as variáveis:

Passo 7

Vamos integrar os dois lados. Primeiro, a integral da esquerda:
Podemos decompor em frações parciais:
Assim, a integral fica:

Passo 8

Integrando o lado direito:

Passo 9

Juntando tudo, temos:
Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
onde é uma constante.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Em cada item, determine as coordenadas polares com e do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(f) .
Determine a solução geral das EDOs:
Em cada item, encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
(e) .
Determine a solução geral das EDOs: