Resolva a EDO, fazendo a mudança de variável sugerida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu. A equação é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) e vamos usar uma mudança de variável
para simplificar a resolução. Vamos precisar conhecer um pouco sobre substituição de variáveis e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a troca de variável sugerida. Definimos
, o que significa que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
usando a regra do produto:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Isolamos
:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Agora temos uma equação que podemos separar as variáveis:
Passo 7
Vamos integrar os dois lados. Primeiro, a integral da esquerda:
Podemos decompor em frações parciais:
Assim, a integral fica:
Passo 8
Integrando o lado direito:
Passo 9
Juntando tudo, temos:
Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Em cada item, determine as coordenadas polares com
e
do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(f) .
(f)
Determine a solução geral das EDOs:
Em cada item, encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
(e) .
(e)
Determine a solução geral das EDOs: