fator integrante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você enviou é uma equação diferencial onde precisamos encontrar um fator integrante em relação a
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo para simplificar a equação e encontrar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para identificar os termos que correspondem a uma equação diferencial linear. A equação é:
Vamos reorganizar para colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Passo 3
Para isso, precisamos isolar o termo com
. Vamos reorganizar a equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Essa equação ainda não está na forma linear padrão. Parece mais complicado por causa do termo
. Para torná-la linear, vamos considerar a substituição
, o que simplifica os termos envolvendo
. Então, temos:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a equação está na forma diferencial linear para
:
Podemos simplificar o lado direito dividindo cada termo por
:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.