Encontre uma parametrização para a curva espacial obtida na interseção do plano
com a folha superior do hiperbolóde
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui? Queremos encontrar uma parametrização para a curva que surge quando a gente corta o plano
com a parte de cima do hiperbolóide
. Basicamente, vamos descobrir como descrever essa curva usando uma variável, tipo
. Para isso, vamos precisar usar álgebra para resolver essas equações juntas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação do plano:
. Isso significa que
é igual a
. Então, podemos escrever:
Isso vai nos ajudar a substituir
na equação do hiperbolóide.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação do hiperbolóide
:
Simplificando isso:
Passo 4
Queremos isolar
para facilitar a parametrização:
Como estamos falando da “folha superior” do hiperbolóide, vamos considerar
positivo:
Passo 5
Vamos escolher
como nossa variável parâmetro, vamos chamar de
. Então, podemos definir:
Agora, podemos expressar
e
em termos de
.
Passo 6
Substituindo
na equação para
e
:
Resposta
A parametrização da curva é: