Encontre uma parametrização para a curva espacial obtida na interseção do plano x - 3y = 0 com a folha superior do hiperbolóde x^2 + y^2 - z^2 = -1

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? Queremos encontrar uma parametrização para a curva que surge quando a gente corta o plano com a parte de cima do hiperbolóide . Basicamente, vamos descobrir como descrever essa curva usando uma variável, tipo . Para isso, vamos precisar usar álgebra para resolver essas equações juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação do plano: . Isso significa que é igual a . Então, podemos escrever:
Isso vai nos ajudar a substituir na equação do hiperbolóide.

Passo 3

Agora, vamos substituir na equação do hiperbolóide :
Simplificando isso:

Passo 4

Queremos isolar para facilitar a parametrização:
Como estamos falando da “folha superior” do hiperbolóide, vamos considerar positivo:

Passo 5

Vamos escolher como nossa variável parâmetro, vamos chamar de . Então, podemos definir:
Agora, podemos expressar e em termos de .

Passo 6

Substituindo na equação para e :

Resposta

A parametrização da curva é:

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