Determine o valor de para que os vetores e sejam coplanares.
Passo 1
Então, temos três vetores: , e . Queremos descobrir o valor de que faz esses vetores serem coplanares. Isso significa que eles estão no mesmo plano. Para verificar isso, vamos usar o produto misto dos vetores, que precisa ser igual a zero para que os vetores sejam coplanares.
Passo 2
O produto misto de três vetores , e é calculado usando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. A fórmula do produto misto é:
Passo 3
Vamos calcular esse determinante passo a passo. O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Agora, somamos todos os termos e igualamos a zero: