Determine o valor de k para que os vetores u = (2, -1, 1), v = (1, 2, -3) e w = (3, k, 5) sejam coplanares.

Passo 1

Então, temos três vetores: , e . Queremos descobrir o valor de k que faz esses vetores serem coplanares. Isso significa que eles estão no mesmo plano. Para verificar isso, vamos usar o produto misto dos vetores, que precisa ser igual a zero para que os vetores sejam coplanares.

Passo 2

O produto misto de três vetores u, v e w é calculado usando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. A fórmula do produto misto é:

Passo 3

Vamos calcular esse determinante passo a passo. O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos e igualamos a zero:
Combinando os termos semelhantes:

Passo 6

Resolvendo para k:

Resposta

O valor de k que torna os vetores coplanares é .

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