Determine o valor de para que os vetores e sejam coplanares.

Passo 1

Então, temos três vetores: , e . Queremos descobrir o valor de que faz esses vetores serem coplanares. Isso significa que eles estão no mesmo plano. Para verificar isso, vamos usar o produto misto dos vetores, que precisa ser igual a zero para que os vetores sejam coplanares.

Passo 2

O produto misto de três vetores , e é calculado usando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. A fórmula do produto misto é:

Passo 3

Vamos calcular esse determinante passo a passo. O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos e igualamos a zero:
Combinando os termos semelhantes:

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna os vetores coplanares é .

Exercícios relacionados

Mostre que para quaisquer vetores e , tem-se:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) (Identidade de Lagrange).
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
( )
Determine a solução geral das edo
Determine a solução geral das edo