Sejam u e v vetores, com ângulo entre si medindo theta = pi / 6 e tais que <u, v> = 2. Determine a área do triângulo que tem os vetores u e v como lados adjacentes.

Passo 1

Estamos lidando com um problema de vetores e geometria vetorial. O enunciado nos dá dois vetores, u e v, que formam um ângulo de entre si e têm um produto interno . Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo formado por esses dois vetores como lados adjacentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno, magnitudes de vetores e a fórmula da área de um triângulo formada por vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores é definido por:

Onde e são as magnitudes dos vetores u e v, respectivamente, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na fórmula do produto interno:

Passo 4

Calculamos o valor de :

Substituindo na equação:

Passo 5

Isolamos o produto das magnitudes dos vetores:

Passo 6

A área de um triângulo formado por dois vetores adjacentes é dada por:
Á
Substituímos os valores que já temos:
Á
Sabemos que , então:
Á
Racionalizando o denominador:

Resposta

A área do triângulo é unidades quadradas.

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