Seja v = (1, -5, 3). Determine o vetor w, tal que ||w|| = 10, e que tem a mesma direção e o sentido contrário de v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um vetor w que tenha módulo 10 e que a direção seja a mesma de v = (1, -5, 3), mas com sentido contrário. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como normalizar um vetor (transformar ele em um vetor unitário) e depois ajustar o tamanho dele para o que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo (ou tamanho) do vetor v. A fórmula para o módulo de um vetor é:
Aplicando isso para v = (1, -5, 3):

Passo 3

Agora, vamos criar um vetor unitário na direção de v. Para isso, dividimos cada componente de v pelo seu módulo:
Esse vetor u tem módulo 1 e aponta na mesma direção de v.

Passo 4

Como queremos que w tenha a mesma direção, mas sentido contrário, e módulo 10, vamos multiplicar o vetor unitário u por -10:
Simplificando, podemos racionalizar denominadores se preferir, mas esse é o vetor w que a gente precisa.

Resposta

O vetor w é .

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