Determine a solução geral da equação de Bernoulli
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Bernoulli na forma
. A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais de Bernoulli, que são um tipo especial de equação diferencial não linear. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição que transforma essa equação em uma forma linear mais fácil de resolver.
Passo 2
A equação de Bernoulli tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
. A primeira coisa que vamos fazer é uma substituição para simplificar a equação. Definimos
. Como
, isso fica
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Isso nos ajuda a substituir
na equação original.
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Simplificando:
Mas queremos uma equação linear em
, então vamos ajustar a substituição.
Passo 5
Rearranjando a substituição e simplificando corretamente, chegamos a uma equação linear em
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 6
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
.
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral
não tem uma forma elemental, mas para fins de solução geral, podemos deixar assim.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação dada é
onde
é uma constante de integração.