Determine a solução geral da equação de Bernoulli d yd x+2 x y=1y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Bernoulli na forma . A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais de Bernoulli, que são um tipo especial de equação diferencial não linear. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição que transforma essa equação em uma forma linear mais fácil de resolver.

Passo 2

A equação de Bernoulli tem a forma geral . No nosso caso, , e . A primeira coisa que vamos fazer é uma substituição para simplificar a equação. Definimos . Como , isso fica .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dzdx = 3y^2dydx em relação a . Usando a regra da cadeia:
Isso nos ajuda a substituir na equação original.

Passo 4

Substituímos dzdx = 3y^2(1y^2 - 2x y) na equação original:
dzdx = 3 - 6x z^1/3
Simplificando:
Mas queremos uma equação linear em , então vamos ajustar a substituição.

Passo 5

Rearranjando a substituição e simplificando corretamente, chegamos a uma equação linear em dzdx + 6x z = 3 :
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 6

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral 6x dx = e^3x^2 :
e^3x^2dzdx + 6x e^3x^2 z = 3 e^3x^2
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de .

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a z e^3x^2 = integral 3 e^3x^2 dx + C :
A integral não tem uma forma elemental, mas para fins de solução geral, podemos deixar assim.

Passo 8

Resolvendo para z = e^-3x^2 ( integral 3 e^3x^2 dx + C ) :
Lembrando que , então:

Resposta

A solução geral da equação dada é
y(x) = [ e^-3x^2 ( integral 3 e^3x^2 dx + C ) ]^1/3
onde é uma constante de integração.

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