Resolva a equação de Bernoulli
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli:
.
Primeiro, é importante saber que a equação de Bernoulli tem a forma geral
. Aqui, temos
,
e
. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação.
Passo 2
A ideia é fazer uma substituição que transforme essa equação não linear em uma equação linear. Vamos definir
. No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos reescrever a equação original em termos de
. Sabemos que
, então substituindo na equação:
Substituindo
por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Mas como
, temos
. Então:
Passo 5
Agora, essa é uma equação linear em
:
Para resolver, vamos achar o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo integra para
e o lado direito integra para
mais uma constante
:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Resposta
Finalmente, isolando
:
Onde
é a constante de integração. Essa é a solução geral da equação dada.
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Determine os vetores
e
, tais que
Mostre que os planos
e
concorrem em um único ponto e determine-o.
Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir.
Se , então
.
Se
Determine a solução geral da equação de Bernoulli
.