Resolva a equação de Bernoulli .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli: .
Primeiro, é importante saber que a equação de Bernoulli tem a forma geral . Aqui, temos , e . Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação.

Passo 2

A ideia é fazer uma substituição que transforme essa equação não linear em uma equação linear. Vamos definir . No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos reescrever a equação original em termos de . Sabemos que , então substituindo na equação:
Substituindo por :
Dividindo ambos os lados por :
Mas como , temos . Então:

Passo 5

Agora, essa é uma equação linear em :
Para resolver, vamos achar o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo integra para e o lado direito integra para mais uma constante :

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , então:

Resposta

Finalmente, isolando :
Onde é a constante de integração. Essa é a solução geral da equação dada.

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Determine os vetores e , tais que
Mostre que os planos e concorrem em um único ponto e determine-o.
Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir.
Se , então .
Determine a solução geral da equação de Bernoulli .