Resolva a equação de Bernoulli d yd x+y=y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli: .
Primeiro, é importante saber que a equação de Bernoulli tem a forma geral . Aqui, temos , e . Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação.

Passo 2

A ideia é fazer uma substituição que transforme essa equação não linear em uma equação linear. Vamos definir z = y^1 - 2 = y^-1 . No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dzdx = ddx(y^-1) = -y^-2 dydx em relação a . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos reescrever a equação original em termos de dydx + y = y^2 Rightarrow dydx = y^2 - y . Sabemos que -y^2 dzdx = y^2 - y , então substituindo na equação:
dzdx = -1 + 1y
Substituindo dzdx = -1 + z por :
Dividindo ambos os lados por :
Mas como , temos . Então:

Passo 5

Agora, essa é uma equação linear em dzdx - z = -1 :
mu(x) = e^integral -1 , dx = e^-x
Para resolver, vamos achar o fator integrante e^-x dzdx - e^-x z = -e^-x :
ddx(e^-x z) = -e^-x
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral ddx(e^-x z) , dx = integral -e^-x , dx
O lado esquerdo integra para e^-x z = e^-x + C e o lado direito integra para mais uma constante :

Passo 7

Agora, resolvemos para z = 1 + C e^x :
y^-1 = 1 + C e^x
Lembrando que , então:

Resposta

Finalmente, isolando y = 11 + C e^x :
Onde é a constante de integração. Essa é a solução geral da equação dada.

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