Determine: a solução geral do sistema homogêneo dot(x) = x - 2y; dot(y) = x + y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais homogêneas que a gente tem aqui:
Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar métodos mais eficientes:
Onde:

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Isso é feito resolvendo o determinante de :
Calculando:
Então:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Então, os autovalores são complexos: e .

Passo 5

Como os autovalores são complexos, a solução geral do sistema será da forma:
Onde:
  • é a parte real do autovalor
  • é a parte imaginária
  • e são constantes arbitrárias

Passo 6

Aplicando os valores de e :
Isso nos dá as expressões para e :

Resposta

A solução geral do sistema homogêneo é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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