Determine: a solução geral do sistema homogêneo
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais homogêneas que a gente tem aqui:
Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar métodos mais eficientes:
Onde:
Passo 3
Agora, para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Isso é feito resolvendo o determinante de
:
Calculando:
Então:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Então, os autovalores são complexos:
e
.
Passo 5
Como os autovalores são complexos, a solução geral do sistema será da forma:
Onde:
-
é a parte real do autovalor -
é a parte imaginária -
e são constantes arbitrárias
Passo 6
Aplicando os valores de
e
:
Isso nos dá as expressões para
e
:
Resposta
A solução geral do sistema homogêneo é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.