Determine a solução geral da equação diferencial dada:
  • y'' - 2 y' - 3 y = 3 e^(2 t)
  • y'' + 2 y' + 5 y = 3 sen(2 t)
  • y'' - 2y' - 3y = -3t e^(-t)
  • 2 y'' + 3 y' + y = t^2 + 3 sen(t)
  • y'' - 2y' + y = e^t / (1 + t^2)
  • y'' + 4y' + 4y = t^(-2) e^(-2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular. Vamos usar métodos como a resolução da equação característica e o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para encontrar a solução da equação homogênea, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
O lado direito é , então vamos assumir uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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