Resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem. O que precisamos para resolver isso é encontrar a função que satisfaz a equação quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação diferencial nos diz. Ela relaciona a derivada de em relação a com e . Para encontrar , precisamos integrar a expressão da derivada.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação com relação a :
A integral do lado esquerdo nos dá simplesmente .

Passo 4

Calculando a integral do lado direito:
Então, juntando as duas partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial fornecida para encontrar o valor de . Sabemos que quando , :
Sabemos que e , então:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Transforme cada equação polar em cartesiana:
(d)
Determine a solução do problema de valor inicial , onde .
Calcule as integrais indefinidas.