Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem. O que precisamos para resolver isso é encontrar a função
que satisfaz a equação quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação diferencial nos diz. Ela relaciona a derivada de
em relação a
com
e . Para encontrar
, precisamos integrar a expressão da derivada.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação com relação a
:
A integral do lado esquerdo nos dá simplesmente
.
Passo 4
Calculando a integral do lado direito:
Então, juntando as duas partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial fornecida para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
:
Sabemos que e
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Transforme cada equação polar em cartesiana:
(d)
(d)
Determine a solução do problema de valor inicial
, onde
.
Calcule as integrais indefinidas.