Determine a solução geral da equação diferencial dada:
-
-
-
-
-
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular. Vamos usar métodos como a resolução da equação característica e o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para encontrar a solução da equação homogênea, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos
na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
O lado direito é
, então vamos assumir uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.