Determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
. Esse tipo de equação é chamada de Equação de Euler-Cauchy, que aparece quando os coeficientes das derivadas são polinomiais de
. Para resolver, vamos precisar usar essa teoria e assumir que a solução tem a forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. Com isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Passo 4
Simplificando cada termo:
Aqui, a gente fatorou
porque todos os termos têm esse fator em comum.
Passo 5
Agora, vamos fatorar
:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 6
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Substituindo:
Passo 7
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Encontre os limites infinitos.
(a)
(a)
Explique brevemente o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
(a) . O que podemos dizer sobre
e
?
(a)
Mostre que
é um ponto singular regular da equação diferencial dada. Encontre os expoentes no ponto singular
. Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de
.
(b)
(b)