Determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial . Esse tipo de equação é chamada de Equação de Euler-Cauchy, que aparece quando os coeficientes das derivadas são polinomiais de . Para resolver, vamos precisar usar essa teoria e assumir que a solução tem a forma .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . Com isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de :

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:

Passo 4

Simplificando cada termo:
Aqui, a gente fatorou porque todos os termos têm esse fator em comum.

Passo 5

Agora, vamos fatorar :
Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:

Passo 6

Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Substituindo:

Passo 7

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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(a)
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Mostre que é um ponto singular regular da equação diferencial dada. Encontre os expoentes no ponto singular . Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de .
(b)