Mostre que
é um ponto singular regular da equação diferencial dada. Encontre os expoentes no ponto singular
. Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que
é um ponto singular regular da equação diferencial
. Além disso, precisamos encontrar os expoentes nesse ponto e os três primeiros termos não nulos de duas soluções diferentes ao redor de
. Para resolver isso, vamos usar o método de pontos singulares regulares e a série de Frobenius.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Em uma equação diferencial de segunda ordem da forma geral:
um ponto
é chamado de singular se
. Se, além disso, as funções
e
têm polos de ordem no máximo 1 e 2, respectivamente, em
, então
é um ponto singular regular.
Passo 3
Vamos identificar
,
e
na nossa equação:
Agora, vamos verificar se
é um ponto singular. Substituindo
em
:
Então,
é de fato um ponto singular.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é um ponto singular regular. Calculamos
e
:
Analisando
em
, temos um polo de ordem 1. Já
também tem polos de ordem 2 em
. Portanto,
é um ponto singular regular.
Passo 5
Agora que estabelecemos que
é um ponto singular regular, vamos encontrar os expoentes usando a equação indicial. A equação de indicial para uma equação de segunda ordem em um ponto singular regular é dada por:
onde
e
são os coeficientes das menores potências de
em
e
, respectivamente.
Passo 6
Vamos expandir
e
em séries de potências ao redor de
:
Então, o termo de menor potência de
é
, ou seja,
.
Aqui, o termo de menor potência de
é
. No entanto, para a equação indicial, consideramos o coeficiente do termo
, que é
. Assim,
.
Passo 7
Substituindo
e
na equação indicial:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os expoentes são:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as duas soluções utilizando a série de Frobenius, que assume uma solução da forma:
Vamos começar com
:
Assumindo
, determinamos os coeficientes
substituindo na equação diferencial e igualando os termos de mesma potência de
.
Passo 9
Após calcular, encontramos os três primeiros termos para cada solução:
Para
:
Para
:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e os demais coeficientes são determinados a partir da equação diferencial.
Resposta
Os expoentes no ponto singular
são:
As três primeiras termos não nulos das duas soluções distintas em torno de
são:
Onde
e
são constantes arbitrárias.