Determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de equação é estudado em cálculo, mais especificamente em equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. Pra resolver, vamos precisar entender como simplificar a equação usando uma substituição que facilite encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. Vamos definir:
Dessa forma, conseguimos reescrever a equação em termos de
ao invés de
. Isso ajuda a simplificar os termos que estão multiplicando as derivadas de
.
Passo 3
Agora, vamos expressar as derivadas de
em relação a
. Sabemos que:
E:
Então, a equação original fica:
Onde agora
e
são derivadas em relação a
.
Passo 4
Observamos que a equação agora está na forma de uma equação de Euler-Cauchy, que é um tipo especial de equação diferencial linear de coeficientes variáveis. A forma geral dessa equação é:
Para resolver, a gente propõe uma solução do tipo
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 5
Vamos assumir que:
Então, as derivadas serão:
Substituindo essas expressões na equação de Euler-Cauchy, a gente consegue encontrar
.
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação:
Simplificando cada termo:
Fatorando
:
Como
não é zero, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Simplificando:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 8
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
Lembrando que
, podemos reescrever a solução em termos de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.