Determine a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de equação é estudado em cálculo, mais especificamente em equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. Pra resolver, vamos precisar entender como simplificar a equação usando uma substituição que facilite encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. Vamos definir:
Dessa forma, conseguimos reescrever a equação em termos de ao invés de . Isso ajuda a simplificar os termos que estão multiplicando as derivadas de .

Passo 3

Agora, vamos expressar as derivadas de em relação a . Sabemos que:
E:
Então, a equação original fica:
Onde agora e são derivadas em relação a .

Passo 4

Observamos que a equação agora está na forma de uma equação de Euler-Cauchy, que é um tipo especial de equação diferencial linear de coeficientes variáveis. A forma geral dessa equação é:
Para resolver, a gente propõe uma solução do tipo , onde é um número que vamos determinar.

Passo 5

Vamos assumir que:
Então, as derivadas serão:
Substituindo essas expressões na equação de Euler-Cauchy, a gente consegue encontrar .

Passo 6

Substituindo , e na equação:
Simplificando cada termo:
Fatorando :
Como não é zero, temos:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Simplificando:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 8

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
Lembrando que , podemos reescrever a solução em termos de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
h)
Meia-vida do isótopo de é 12 segundos.
(b) Qual é tempo médio da vida do isótopo de ?
Meia-vida do isótopo de é 12 segundos.
(a) Quanto tempo se desintegram de ?
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(b)