Mostre que a solução do problema de valor inicial
se aproxima de uma constante quando
. Determine o valor dessa constante.
[Resp:
, logo
.]
[Resp:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma equação diferencial de segunda ordem
com condições iniciais
e
. O objetivo é mostrar que a solução dessa equação se aproxima de uma constante quando
tende ao infinito e determinar qual é essa constante.
Para resolver isso, vamos utilizar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica e analisar o comportamento da solução conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, encontramos a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar
:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 4
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a primeira condição inicial
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, calculamos a derivada de
para aplicar a segunda condição inicial
:
Simplificando:
Aplicando
:
Então,
.
Passo 7
Substituímos
e
na solução geral:
Passo 8
Para determinar o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
decai exponencialmente, enquanto
cresce linearmente. A exponencial decai mais rápido que o crescimento linear, então o limite é:
Resposta
A solução se aproxima de 0 quando
tende ao infinito, ou seja,
.