Mostre que a solução do problema de valor inicial y^prime prime(x)+2 y^prime(x)+y(x)=0, y(0)=a, y^prime(0)= b se aproxima de uma constante quando x infty. Determine o valor dessa constante.
[Resp: y(x)=e^-x((a+b) x+a), logo lim x infty y(x)=0.]

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e . O objetivo é mostrar que a solução dessa equação se aproxima de uma constante quando tende ao infinito e determinar qual é essa constante.
Para resolver isso, vamos utilizar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica e analisar o comportamento da solução conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, encontramos a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma r^2 + 2r + 1 = 0 , a equação característica é:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar r = -2 pm raiz4 - 42 = -2 pm 02 = -1 :
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 4

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = (C1 + C2x)e^-x
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a primeira condição inicial y(0) = (C1 + C2 cdot 0)e^0 = C1 = a :
Portanto, .

Passo 6

Agora, calculamos a derivada de y'(x) = ddx[(C1 + C2x)e^-x] = C2e^-x + (C1 + C2x)(-e^-x) para aplicar a segunda condição inicial y'(x) = (C2 - C1 - C2x)e^-x :
y'(0) = (C2 - C1)e^0 = C2 - a = b
Simplificando:
Aplicando :
Então, .

Passo 7

Substituímos y(x) = (a + (a + b)x)e^-x = e^-x((a + b)x + a) e na solução geral:

Passo 8

Para determinar o limite de limx to infty y(x) = limx to infty e^-x((a + b)x + a) quando limx to infty y(x) = 0 tende ao infinito:
Sabemos que decai exponencialmente, enquanto cresce linearmente. A exponencial decai mais rápido que o crescimento linear, então o limite é:

Resposta

A solução se aproxima de 0 quando tende ao infinito, ou seja, .

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