Determine a solução geral da equação de Ricatti
em que
é uma solução particular. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da equação de Riccati
. O conteúdo envolve equações diferenciais, especificamente a equação de Riccati. Para resolver isso, vamos precisar usar a solução particular que já foi dada:
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação de Riccati. É uma equação diferencial não linear da forma
. No nosso caso, temos:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Sabemos que uma equação de Riccati pode ser transformada em uma equação linear se conhecermos uma solução particular
. Vamos usar essa solução para facilitar nossa vida. A ideia é fazer uma substituição que simplifique a equação.
Passo 4
Vamos definir uma nova função
tal que:
Substituindo
na expressão acima, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação original. Primeiro, calculamos
:
Substituindo na equação de Riccati:
Isso vai simplificar bastante, e vamos acabar com uma equação linear em
.
Passo 6
Após simplificar toda a expressão, conseguimos uma equação diferencial linear para
. Resolvendo essa equação, encontramos
em termos de
. A solução geral fica então:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati dada é:
Exercícios relacionados
Seja
o único número natural que é primo e par. Sendo
determine o valor de
.
Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Seja a função
definida por
. Obtenha o valor
.
O volume típico de sangue no corpo humano é cerca de 5 L . Certa porcentagem desse volume (chamada de hematócrito) consiste de células vermelhas do sangue (CVS); tipicamente, o hematócrito é de cerca de
nos homens. Suponha que uma cirurgia leve 4 horas e que um paciente do sexo masculino perca cerca
de sangue. Durante a cirurgia, o volume de sangue do paciente é mantido em 5 L pela injeção de uma solução salina, que se mistura rapidamente com o sangue, mas o dilui, de modo que o hematócrito diminui à medida que o tempo passa. Qual é a perda de CVS sem o procedimento HNA? Qual é a perda se o procedimento for executado com o volume calculado no item b)?