Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O enunciado pede pra gente descobrir o maior domínio possível onde essa função tem uma inversa, qual é essa inversa, e também o domínio e a imagem da inversa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções inversas e como garantir que a função original seja “injetora” (ou seja, que passe no teste da linha horizontal).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o domínio da função original
. O que significa domínio? É o conjunto de todos os valores de
que a gente pode colocar na função sem problemas.
Aqui, dentro da raiz quadrada, temos
. Como o quadrado de qualquer número é sempre positivo ou zero,
. Então,
, o que está sempre positivo. Isso quer dizer que a função está definida para todo número real. Ou seja, o domínio de
é
(todos os reais).
Passo 3
Agora, pra função ter uma inversa, ela precisa ser injetora, ou seja, cada valor de saída deve estar ligado a apenas um valor de entrada. Porém, nossa função
é simétrica em relação ao eixo y porque
é igual para
positivo e negativo. Isso faz com que a função não seja injetora no seu domínio completo.
Então, o que a gente faz? Restringimos o domínio da função para que ela seja injetora. As maiores restrições possíveis que mantêm a função injetora são:
Escolhemos uma dessas duas opções para garantir que cada
tem um único
.
Passo 4
Vamos optar por restringir o domínio para
. Isso é arbitrário, mas facilita na hora de encontrar a inversa. Agora, vamos dizer que nosso novo domínio é
.
Passo 5
Com o domínio restrito, a função
agora é injetora e, portanto, tem inversa. Para achar a inversa, vamos seguir estes passos:
-
Troque
por : -
Troque
e : -
Resolva para
: Primeiro, eleva ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:Depois, isola: Por fim, tira a raiz:Mas lembre-se queporque restringimos , então:
No entanto, perceba que há um erro aqui. Vamos refazer:
Na verdade, ao trocar
e
e resolver para
, ficamos com:
Elevando ao quadrado:
Isolando
:
Então,
Mas, na verdade, isso não resolve diretamente para
. Vamos refazer de maneira correta:
Voltando ao passo:
Para achar a inversa, trocamos
por
e vice-versa:
Agora, elevando ao quadrado:
Isolando
:
Então,
Mas aqui, precisamos ter certeza que
, ou seja,
. Isso nos leva a:
Passo 6
Então, a inversa da função
é:
Passo 7
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da inversa
.
Domínio da inversa: Os valores de
para os quais a inversa está definida. A gente já viu que
, então:
Imagem da inversa: Os valores que a inversa pode assumir. Como
e já restringimos
, o menor valor de
ocorre quando
:
E à medida que
aumenta,
também aumenta sem limite. Então:
Resposta
O maior domínio possível para que a inversa exista é
. A expressão da inversa é
. O domínio da inversa é
e sua imagem é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
e
sendo
;
Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Seja
o único número natural que é primo e par. Sendo
determine o valor de
.
Determine a solução geral da equação de Ricatti
em que
é uma solução particular. Resp.: