Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = raiz(x^2 + 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O enunciado pede pra gente descobrir o maior domínio possível onde essa função tem uma inversa, qual é essa inversa, e também o domínio e a imagem da inversa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções inversas e como garantir que a função original seja “injetora” (ou seja, que passe no teste da linha horizontal).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio da função original . O que significa domínio? É o conjunto de todos os valores de que a gente pode colocar na função sem problemas.
Aqui, dentro da raiz quadrada, temos . Como o quadrado de qualquer número é sempre positivo ou zero, . Então, , o que está sempre positivo. Isso quer dizer que a função está definida para todo número real. Ou seja, o domínio de é (todos os reais).

Passo 3

Agora, pra função ter uma inversa, ela precisa ser injetora, ou seja, cada valor de saída deve estar ligado a apenas um valor de entrada. Porém, nossa função é simétrica em relação ao eixo y porque é igual para positivo e negativo. Isso faz com que a função não seja injetora no seu domínio completo.
Então, o que a gente faz? Restringimos o domínio da função para que ela seja injetora. As maiores restrições possíveis que mantêm a função injetora são:
Escolhemos uma dessas duas opções para garantir que cada tem um único .

Passo 4

Vamos optar por restringir o domínio para . Isso é arbitrário, mas facilita na hora de encontrar a inversa. Agora, vamos dizer que nosso novo domínio é .

Passo 5

Com o domínio restrito, a função agora é injetora e, portanto, tem inversa. Para achar a inversa, vamos seguir estes passos:
  1. Troque por :
  2. Troque e :
  3. Resolva para :
    Primeiro, eleva ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
    Depois, isola :
    Por fim, tira a raiz:
    Mas lembre-se que porque restringimos , então:
No entanto, perceba que há um erro aqui. Vamos refazer:
Na verdade, ao trocar e e resolver para , ficamos com:
Elevando ao quadrado:
Isolando :
Então,
Mas, na verdade, isso não resolve diretamente para . Vamos refazer de maneira correta:
Voltando ao passo:
Para achar a inversa, trocamos por e vice-versa:
Agora, elevando ao quadrado:
Isolando :
Então,
Mas aqui, precisamos ter certeza que , ou seja, . Isso nos leva a:

Passo 6

Então, a inversa da função é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da inversa .
Domínio da inversa: Os valores de para os quais a inversa está definida. A gente já viu que , então:
Imagem da inversa: Os valores que a inversa pode assumir. Como e já restringimos , o menor valor de ocorre quando :
E à medida que aumenta, também aumenta sem limite. Então:

Resposta

O maior domínio possível para que a inversa exista é . A expressão da inversa é . O domínio da inversa é e sua imagem é .

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