Resolva as seguintes equações do tipo Clairaut
(b) y = x * y' - pi + y' / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação do tipo Clairaut: . A matéria envolvida aqui é o estudo das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações de Clairaut. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com derivadas e manipular a equação para encontrar a solução geral e, se houver, a solução singular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar tudo em termos de . Temos:
Vamos juntar os termos com :

Passo 3

Agora, vamos isolar . Para isso, adicionamos em ambos os lados e dividimos pelo coeficiente de :

Passo 4

Em uma equação de Clairaut, a solução geral é obtida considerando , onde é uma constante. Então, substituímos na equação original:
Essa é a forma geral da solução.

Passo 5

Para encontrar a solução singular, derivamos a expressão geral em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, substituímos na equação geral para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante. Além disso, a solução singular é .

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