Resolver esta EDO exata usando o método das EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata e precisa resolver usando o método das EDO exatas. O enunciado da questão é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata, verificar se essa equação é realmente exata e, se for, encontrar a solução geral dela usando uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existir uma função tal que:
Isso significa que a equação pode ser escrita como a diferencial total de , ou seja, , implicando que , onde é uma constante.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa equação:
Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos encontrar a função tal que:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
onde é uma função que depende apenas de e será determinada depois.

Passo 5

Para integrar em relação a , vamos separar os termos:
A segunda integral envolve apenas na parte denominadora, então podemos tratá-la normalmente. A primeira integral pode parecer complicada, mas se fizermos uma substituição adequada, ela também será resolvível.

Passo 6

Vamos fazer a substituição , então ou .
Substituindo na primeira integral:
Mas temos , então . Substituindo isso na integral:
Expandindo :
Integrando termo a termo:
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos integrar a segunda parte:
Como é tratado como constante em relação a , podemos trazer para fora da integral:
Usando a mesma substituição , :

Passo 8

Agora, juntando tudo:
Para encontrar , usamos a segunda condição:
Derivando em relação a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
onde é uma constante arbitrária.

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