Resolver esta EDO exata usando o método das EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata e precisa resolver usando o método das EDO exatas. O enunciado da questão é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata, verificar se essa equação é realmente exata e, se for, encontrar a solução geral dela usando uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Isso significa que a equação pode ser escrita como a diferencial total de
, ou seja,
, implicando que
, onde
é uma constante.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
e será determinada depois.
Passo 5
Para integrar
em relação a
, vamos separar os termos:
A segunda integral envolve apenas
na parte denominadora, então podemos tratá-la normalmente. A primeira integral pode parecer complicada, mas se fizermos uma substituição adequada, ela também será resolvível.
Passo 6
Vamos fazer a substituição
, então
ou
.
Substituindo na primeira integral:
Mas temos
, então
. Substituindo isso na integral:
Expandindo
:
Integrando termo a termo:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos integrar a segunda parte:
Como
é tratado como constante em relação a
, podemos trazer
para fora da integral:
Usando a mesma substituição
,
:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Para encontrar
, usamos a segunda condição:
Derivando
em relação a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.
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Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
Resolva as seguintes EDO(d)
.
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente: