Um termômetro marcando 20 graus Celsius é levado para dentro de um forno preaquecido a temperatura constante. Do lado de fora um observador vê o termômetro marcar 44 graus C após 1/2 minutos e 63 graus C após 1 minuto. Qual é a temperatura do forno?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e identificar qual matéria vamos usar. Temos um termômetro que inicialmente marca 20 graus Celsius e é colocado em um forno com temperatura constante desconhecida. Um observador vê a temperatura do termômetro subir para 44 graus C após minuto e para 63 graus C após 1 minuto. Queremos descobrir qual é a temperatura constante do forno. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula dessa lei é:
Onde:
  • T(t) é a temperatura do objeto no tempo t,
  • é a temperatura do ambiente (neste caso, a temperatura do forno),
  • é a temperatura inicial do objeto,
  • k é uma constante positiva que depende das propriedades do objeto e do ambiente,
  • e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos atribuir os valores conhecidos na fórmula. Sabemos que:
  • A temperatura inicial do termômetro, ,
  • Após minutos, ,
  • Após minuto, .
Substituindo na fórmula:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar e k. Primeiro, vamos simplificar as equações.
Vamos chamar e (porque ).
Assim, temos:
Agora, podemos resolver a primeira equação para A em termos de e substituir na segunda.

Passo 5

Resolvendo a primeira equação para A:
Substituindo esse valor de A na segunda equação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Resposta

Após resolver a equação, encontramos que a temperatura do forno é 100 °C.

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