Um termômetro marcando é levado para dentro de um forno preaquecido a temperatura constante. Do lado de fora um observador vê o termômetro marcar após minutos e após 1 minuto. Qual é a temperatura do forno?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e identificar qual matéria vamos usar. Temos um termômetro que inicialmente marca e é colocado em um forno com temperatura constante desconhecida. Um observador vê a temperatura do termômetro subir para após minuto e para após minuto. Queremos descobrir qual é a temperatura constante do forno. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula dessa lei é:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo ,
  • é a temperatura do ambiente (neste caso, a temperatura do forno),
  • é a temperatura inicial do objeto,
  • é uma constante positiva que depende das propriedades do objeto e do ambiente,
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos atribuir os valores conhecidos na fórmula. Sabemos que:
  • A temperatura inicial do termômetro, ,
  • Após minutos, ,
  • Após minuto, .
Substituindo na fórmula:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar e . Primeiro, vamos simplificar as equações.
Vamos chamar e (porque ).
Assim, temos:
Agora, podemos resolver a primeira equação para em termos de e substituir na segunda.

Passo 5

Resolvendo a primeira equação para :
Substituindo esse valor de na segunda equação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Resposta

Após resolver a equação, encontramos que a temperatura do forno é .

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Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular correspondente:
Suponhamos que o corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. As 22 h e 30min o perito criminal chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de . Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou . A temperatura do ambiente foi mantida constante a . Devemos admitir também que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de . Determine a hora aproximada que essa pessoa veio a óbito.
Resolver esta EDO exata usando o método das EDO
Resolva as seguintes EDO(d) .