Um termômetro marcando
é levado para dentro de um forno preaquecido a temperatura constante. Do lado de fora um observador vê o termômetro marcar
após
minutos e
após 1 minuto. Qual é a temperatura do forno?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e identificar qual matéria vamos usar. Temos um termômetro que inicialmente marca
e é colocado em um forno com temperatura constante desconhecida. Um observador vê a temperatura do termômetro subir para
após
minuto e para
após
minuto. Queremos descobrir qual é a temperatura constante do forno. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em um ambiente com temperatura constante.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula dessa lei é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura do ambiente (neste caso, a temperatura do forno), -
é a temperatura inicial do objeto, -
é uma constante positiva que depende das propriedades do objeto e do ambiente, -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Vamos atribuir os valores conhecidos na fórmula. Sabemos que:
- A temperatura inicial do termômetro,
, - Após
minutos, , - Após
minuto, .
Substituindo na fórmula:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar
e
. Primeiro, vamos simplificar as equações.
Vamos chamar
e
(porque
).
Assim, temos:
Agora, podemos resolver a primeira equação para
em termos de
e substituir na segunda.
Passo 5
Resolvendo a primeira equação para
:
Substituindo esse valor de
na segunda equação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Resposta
Após resolver a equação, encontramos que a temperatura do forno é
.
Exercícios relacionados
Determine a solução Geral da Equação de Riccati, dada a solução particular
correspondente:
Suponhamos que o corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. As 22 h e 30min o perito criminal chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de
. Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou
. A temperatura do ambiente foi mantida constante a
. Devemos admitir também que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de
. Determine a hora aproximada que essa pessoa veio a óbito.
Resolver esta EDO exata usando o método das EDO
Resolva as seguintes EDO(d)
.