Resolva as seguintes EDO(d) y' (x) = pi / (e^(2y) + 3x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) que é . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com EDO de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação:
Nossa meta é separar as variáveis e para lados opostos da equação, se possível.

Passo 3

Vamos tentar fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
No lado esquerdo, a integral fica:
Do lado direito:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Sabemos que , então simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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