Determine a solução geral da equação
e obtenha a solução do PVI que tem como condições iniciais
e
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E também precisamos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
e
. Vamos usar técnicas de equações diferenciais para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por
para facilitar os cálculos:
Isso deixa a equação na forma padrão de uma equação linear de segunda ordem:
Onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar uma solução particular dessa equação. Uma boa estratégia é procurar soluções na forma de polinômios simples ou funções que a equação possa admitir facilmente. Vamos tentar uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação simplificada:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Vamos fatorar
:
Observando que
, podemos escrever:
Passo 7
Agora, temos:
Vamos distribuir e simplificar:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos com
e os termos constantes devem ser iguais a zero:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Substituindo
na segunda equação:
Isso mostra que nossa suposição inicial não funciona, ou seja,
não é uma solução válida. Precisamos tentar outra abordagem.
Passo 9
Vamos tentar uma solução da forma
, onde
é uma constante. Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 10
Agora, para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais a zero:
- Coeficiente de
:
Então,
- Termo constante:
Verificando para
:
Para
:
Só
satisfaz ambas as equações. Portanto, uma solução é
.
Passo 11
Agora que encontramos uma solução particular
, podemos encontrar uma segunda solução
usando o método de redução de ordem. A fórmula para a segunda solução é:
Onde
.
Passo 12
Vamos calcular
:
Podemos fazer uma divisão simples:
Então,
Portanto,
Passo 13
Agora, calculamos:
Então, a segunda solução é:
Passo 14
Vamos calcular a integral
usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Passo 15
Substituindo de volta na expressão para
:
Como
é uma constante arbitrária, podemos descartar o termo múltiplo de
, então a segunda solução independente é simplesmente
.
Passo 16
Agora, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções encontradas:
Passo 17
Por fim, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 18
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação (2):
Resposta
A solução do problema é:
Simplificando: