Determine a solução geral da equação (x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0 e obtenha a solução do PVI que tem como condições iniciais y(1)=1 e y'(1) = 3. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E também precisamos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais e . Vamos usar técnicas de equações diferenciais para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por para facilitar os cálculos:
Isso deixa a equação na forma padrão de uma equação linear de segunda ordem:
Onde e .

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar uma solução particular dessa equação. Uma boa estratégia é procurar soluções na forma de polinômios simples ou funções que a equação possa admitir facilmente. Vamos tentar uma solução da forma , onde k é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos y, e na equação simplificada:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Substituindo de volta na equação:

Passo 6

Vamos fatorar :
Observando que , podemos escrever:

Passo 7

Agora, temos:
Vamos distribuir e simplificar:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes dos termos com x e os termos constantes devem ser iguais a zero:
  1. Coeficiente de x:
  1. Termo constante:
Substituindo na segunda equação:
Isso mostra que nossa suposição inicial não funciona, ou seja, não é uma solução válida. Precisamos tentar outra abordagem.

Passo 9

Vamos tentar uma solução da forma , onde m é uma constante. Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 10

Agora, para que a equação seja válida para todo x, os coeficientes de x e os termos constantes devem ser iguais a zero:
  1. Coeficiente de x:

Então, ou
  1. Termo constante:
Verificando para :
Para :
satisfaz ambas as equações. Portanto, uma solução é .

Passo 11

Agora que encontramos uma solução particular , podemos encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. A fórmula para a segunda solução é:
Onde .

Passo 12

Vamos calcular :
Podemos fazer uma divisão simples:
Então,
Portanto,

Passo 13

Agora, calculamos:
Então, a segunda solução é:

Passo 14

Vamos calcular a integral usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 15

Substituindo de volta na expressão para :
Como C é uma constante arbitrária, podemos descartar o termo múltiplo de , então a segunda solução independente é simplesmente .

Passo 16

Agora, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções encontradas:

Passo 17

Por fim, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de y(x):
Aplicando x = 1:

Passo 18

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (2):

Resposta

A solução do problema é:
Simplificando:

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