Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência
e precisamos descobrir se ela converge (se aproxima de um certo valor) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor). Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dos termos conforme
cresce.
Passo 2
Vamos observar os componentes da sequência
:
- A parte
faz com que os termos alternem entre positivo e negativo conforme aumenta. - A parte
diminui conforme cresce, já que o denominador aumenta muito rápido.
Passo 3
Para determinar o limite da sequência, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 conforme
cresce. Mesmo com a alternância de sinais devido a
, o valor absoluto da sequência
está se aproximando de 0. Portanto, o limite da sequência
também é 0.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.