Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem uma equação diferencial que depende de
e
. O objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz essa equação ser exata, e depois resolver a equação usando esse valor de
. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como encontrar o valor de
que a torna exata.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é chamada de exata se existe uma função
tal que:
Para que essa condição seja satisfeita, precisamos que:
Essa igualdade nos ajuda a encontrar o valor de
que torna a equação exata.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Para que a equação seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Agora, agrupamos os termos que contêm
:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
e
, os coeficientes das potências de
e
devem ser iguais em ambos os lados. Observando a equação, percebemos que para os termos com
:
Passo 4
Agora que encontramos
, podemos substituir esse valor na equação original para torná-la exata:
A equação fica:
com:
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Agora, integramos
em relação a
:
Portanto, a função
é:
Passo 6
Agora, para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
:
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero, então:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Portanto:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
A constante
pode ser representada simplesmente por
, já que é uma constante arbitrária.
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verifique que toda solução da EDO
satisfaz a equação
, onde
é uma constante positiva. Observando-se que a última equação é a equação de uma elipse no plano
, interprete este exercício geométricamente.
Determine a solução geral da equação
.
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.
.