Encontre o valor de que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de encontrado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem uma equação diferencial que depende de e . O objetivo aqui é encontrar o valor de que faz essa equação ser exata, e depois resolver a equação usando esse valor de . A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como encontrar o valor de que a torna exata.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é chamada de exata se existe uma função tal que:
Para que essa condição seja satisfeita, precisamos que:
Essa igualdade nos ajuda a encontrar o valor de que torna a equação exata.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Para que a equação seja exata, essas duas derivadas devem ser iguais:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):
Agora, agrupamos os termos que contêm :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de e , os coeficientes das potências de e devem ser iguais em ambos os lados. Observando a equação, percebemos que para os termos com :

Passo 4

Agora que encontramos , podemos substituir esse valor na equação original para torná-la exata:
A equação fica:
com:

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Portanto, a função é:

Passo 6

Agora, para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando a :
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero, então:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Portanto:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
A constante pode ser representada simplesmente por , já que é uma constante arbitrária.

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Verifique que toda solução da EDO
satisfaz a equação , onde é uma constante positiva. Observando-se que a última equação é a equação de uma elipse no plano , interprete este exercício geométricamente.
Determine a solução geral da equação .
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. .
Encontre o valor de que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de encontrado. .