Verifique que toda solução da EDO
satisfaz a equação , onde é uma constante positiva. Observando-se que a última equação é a equação de uma elipse no plano , interprete este exercício geométricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). A gente precisa mostrar que qualquer solução da EDO dada:
satisfaz a equação:
onde é uma constante positiva. Além disso, vamos interpretar isso geometricamente, sabendo que a última equação representa uma elipse no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a EDO para facilitar a análise. Queremos isolar :

Passo 3

Agora, vamos utilizar o método das variáveis separáveis ou buscar uma função que seja constante ao longo das soluções da EDO. Observando a equação que queremos provar ser constante, vamos supor que:
é constante, ou seja, . Para confirmar isso, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 5

Queremos que porque é constante. Portanto:
Substituindo da EDO original:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Observar que , então:
Simplificando:
Isso confirma que , ou seja, é de fato uma solução da EDO.

Passo 7

Agora, interpretando geometricamente: a equação representa uma elipse no plano . Isso significa que as soluções da EDO são curvas elípticas, e cada solução corresponde a uma elipse diferente, dependendo do valor da constante .

Resposta

Toda solução da EDO dada satisfaz a equação , onde é uma constante positiva, representando uma elipse no plano .

Exercícios relacionados

Determine a solução geral da equação .
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações. .
Encontre o valor de que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de encontrado.
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. .