Verifique que toda solução da EDO
satisfaz a equação
, onde
é uma constante positiva. Observando-se que a última equação é a equação de uma elipse no plano
, interprete este exercício geométricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). A gente precisa mostrar que qualquer solução da EDO dada:
satisfaz a equação:
onde
é uma constante positiva. Além disso, vamos interpretar isso geometricamente, sabendo que a última equação representa uma elipse no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a EDO para facilitar a análise. Queremos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos utilizar o método das variáveis separáveis ou buscar uma função que seja constante ao longo das soluções da EDO. Observando a equação que queremos provar ser constante, vamos supor que:
é constante, ou seja,
. Para confirmar isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Queremos que
porque
é constante. Portanto:
Substituindo
da EDO original:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Observar que
, então:
Simplificando:
Isso confirma que
, ou seja,
é de fato uma solução da EDO.
Passo 7
Agora, interpretando geometricamente: a equação
representa uma elipse no plano
. Isso significa que as soluções da EDO são curvas elípticas, e cada solução corresponde a uma elipse diferente, dependendo do valor da constante
.
Resposta
Toda solução da EDO dada satisfaz a equação
, onde
é uma constante positiva, representando uma elipse no plano
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral da equação
.
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.
Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.