Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial
e precisamos encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação dos parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar o método para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
A equação característica dessa equação homogênea é:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, as soluções gerais da equação homogênea são:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação não homogênea
.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para simplificar, impomos as condições:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações para
e
:
Passo 6
Integrando
e
para encontrar
e
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos desconsiderar as constantes de integração.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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