Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial e precisamos encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação dos parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar o método para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
A equação característica dessa equação homogênea é:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, as soluções gerais da equação homogênea são:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea .
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para simplificar, impomos as condições:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações para e :

Passo 6

Integrando e para encontrar e :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos desconsiderar as constantes de integração.

Passo 7

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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