Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, e vamos precisar entender um pouco sobre soluções da equação homogênea e como aplicar a variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação:
Então, as soluções gerais da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método da variação dos parâmetros. Nesse método, assumimos que as constantes e da solução homogênea são, na verdade, funções de :

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Para simplificar, impomos que:
Isso nos ajuda a eliminar termos complicados nas derivadas.

Passo 5

Substituindo e suas derivadas na equação original :
Simplificando:
Com a condição , obtemos:

Passo 6

Agora, resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação, temos:
Integrando:
Podemos ignorar a constante pois já está incluída na solução homogênea.

Passo 7

Substituindo na primeira equação:
Integrando:
Novamente, a constante está incluída na solução homogênea.

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, somamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação é , onde e são constantes.

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