Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, e vamos precisar entender um pouco sobre soluções da equação homogênea e como aplicar a variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação:
Então, as soluções gerais da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
da equação não homogênea
usando o método da variação dos parâmetros. Nesse método, assumimos que as constantes
e
da solução homogênea são, na verdade, funções de
:
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Para simplificar, impomos que:
Isso nos ajuda a eliminar termos complicados nas derivadas.
Passo 5
Substituindo
e suas derivadas na equação original
:
Simplificando:
Com a condição
, obtemos:
Passo 6
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação, temos:
Integrando:
Podemos ignorar a constante
pois já está incluída na solução homogênea.
Passo 7
Substituindo
na primeira equação:
Integrando:
Novamente, a constante
está incluída na solução homogênea.
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, somamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
e
são constantes.
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