Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:

Passo 1

Beleza! O exercício nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Isso está dentro da matéria de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e aplicar a variação dos parâmetros para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Assim, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso haja.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar assumindo que os coeficientes das soluções homogêneas não são constantes, mas sim funções a serem determinadas.

Passo 5

Primeiro, calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas. As soluções são e . O Wronskiano é dado por:

Passo 6

Agora, aplicamos as fórmulas da variação dos parâmetros para encontrar e :

Passo 7

Vamos resolver as integrais:
  1. Para :
Usando a técnica de integração por partes ou conhecendo a integral padrão, temos:
  1. Para :
Novamente, usando integração por partes ou a fórmula de integrais padrão:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão da solução particular:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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