Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza! O exercício nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Isso está dentro da matéria de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e aplicar a variação dos parâmetros para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Assim, as raízes são e .
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, caso haja.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar assumindo que os coeficientes das soluções homogêneas não são constantes, mas sim funções a serem determinadas.
Passo 5
Primeiro, calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas. As soluções são e . O Wronskiano é dado por:
Passo 6
Agora, aplicamos as fórmulas da variação dos parâmetros para encontrar e :
Passo 7
Vamos resolver as integrais:
Para :
Usando a técnica de integração por partes ou conhecendo a integral padrão, temos:
Para :
Novamente, usando integração por partes ou a fórmula de integrais padrão:
Passo 8
Agora, substituímos e na expressão da solução particular:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: