Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar a solução geral de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, precisamos encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Então, os valores de são:

Passo 3

Com os valores de , a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é , assumimos uma forma para . Geralmente, tentamos:
Onde é o coeficiente que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos substituir na equação diferencial para encontrar :
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde e são constantes arbitrárias.

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