Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar a solução geral de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, precisamos encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Então, os valores de
são:
Passo 3
Com os valores de
, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, assumimos uma forma para
. Geralmente, tentamos:
Onde
é o coeficiente que precisamos encontrar.
Passo 5
Vamos substituir
na equação diferencial para encontrar
:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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