Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

Como as raízes são complexas , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , que já aparece na solução homogênea, vamos multiplicar por para encontrar a forma adequada da solução particular:

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação original e igualamos os coeficientes:
Após simplificar, obtemos um sistema de equações para e :
Isso resulta em:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. De :
  2. Substituindo em :
  3. Logo,

Passo 9

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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