Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Como as raízes são complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , que já aparece na solução homogênea, vamos multiplicar por
para encontrar a forma adequada da solução particular:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original e igualamos os coeficientes:
Após simplificar, obtemos um sistema de equações para
e
:
Isso resulta em:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
- De
: - Substituindo em
: → → - Logo,
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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