Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Então, vamos precisar lembrar como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar esse método que nos ajuda a achar uma solução particular quando a solução homogênea já está resolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica que é .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , vemos que ela pode ser fatorada como . Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houverem).

Passo 5

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos a forma da solução particular. Como o lado direito é , tentamos uma solução da forma , onde é uma função a ser determinada.

Passo 6

Derivando :
Substituindo na equação original:

Passo 7

Simplificando os termos:

Passo 8

Dividindo todos os termos por (que nunca é zero):
Agora, temos uma equação diferencial para .

Passo 9

Resolvendo essa equação diferencial, assumimos que é constante, então e . Assim:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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