Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. Então, vamos precisar lembrar como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar esse método que nos ajuda a achar uma solução particular quando a solução homogênea já está resolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica que é
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, vemos que ela pode ser fatorada como
. Então, temos uma raiz dupla:
.
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houverem).
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa
usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos a forma da solução particular. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma
, onde
é uma função a ser determinada.
Passo 6
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Passo 7
Simplificando os termos:
Passo 8
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero):
Agora, temos uma equação diferencial para
.
Passo 9
Resolvendo essa equação diferencial, assumimos que
é constante, então
e
. Assim:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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