Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais homogêneas e não homogêneas, encontrar soluções complementares e particulares, e finalmente aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver . Para isso, assumimos que a solução tem a forma e substituímos na equação:
Como nunca é zero, temos a equação característica:
Portanto, a solução complementar é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Como o lado direito da equação é , vamos supor uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem encontradas. Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Igualando ao lado direito da equação :
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução complementar com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Em segundo lugar, calculamos a derivada de :
Aplicamos :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e :
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais e .

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