Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais homogêneas e não homogêneas, encontrar soluções complementares e particulares, e finalmente aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
e substituímos na equação:
Como
nunca é zero, temos a equação característica:
Portanto, a solução complementar é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Como o lado direito da equação é
, vamos supor uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas. Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Igualando ao lado direito da equação
:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução complementar
com a solução particular
para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Em segundo lugar, calculamos a derivada de
:
Aplicamos
:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas
e
:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de
e
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais
e
.
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