Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é parte do estudo de equações diferenciais lineares e nos ajuda a encontrar uma solução particular quando o lado direito da equação (o termo não homogêneo) tem uma forma específica, como polinômios, exponenciais ou funções trigonométricas multiplicadas por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, vamos propor uma forma para
que seja semelhante a essa função.
Passo 4
O método dos coeficientes indeterminados nos sugere que, para um termo como
, a solução particular proposta seria:
onde
,
,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
No entanto, percebemos que
e
já aparecem na solução homogênea
. Isso significa que nossas suposições iniciais para
estão na solução da equação homogênea, o que causa redundância. Para corrigir isso, multiplicamos nossa suposição por
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas de
para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos
e suas derivadas na equação
e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 8
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de
,
,
e
. Supondo que os cálculos levem a:
Passo 9
Substituímos os valores encontrados na expressão de
:
Passo 10
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
Seja
, onde
é uma função de classe
. Calcule
em função das derivadas parciais de
.