Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial do segundo grau. A equação que temos é:
Aqui, a matéria principal é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , encontramos os valores de :
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos usar o método de Coeficientes Indeterminados. Supomos uma solução da forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos iguais, temos:
Para :
Para os termos constantes:

Passo 9

Com os valores de e , a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
çã

Passo 12

Calculamos a derivada de :
Simplificando:
Para :
çã

Passo 13

Resolvendo o sistema de Equações 1 e 2:
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
Seja , onde é uma função de classe . Calcule em função das derivadas parciais de .
Dada a função , calcular