Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial do segundo grau. A equação que temos é:
Aqui, a matéria principal é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos os valores de
:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos usar o método de Coeficientes Indeterminados. Supomos uma solução da forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Igualando os coeficientes dos termos iguais, temos:
Para
:
Para os termos constantes:
Passo 9
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 12
Calculamos a derivada de
:
Simplificando:
Para
:
Passo 13
Resolvendo o sistema de Equações 1 e 2:
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Determine a solução geral das equações abaixo usando o método da variação dos parâmetros:
Seja
, onde
é uma função de classe
. Calcule
em função das derivadas parciais de
.
Dada a função
, calcular