Encontre uma solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e adicionar uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Assim, temos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as raízes são:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Observando o termo do lado direito (
), vamos assumir uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: