Encontre uma solução geral da equação diferencial dada.
y'' - 2 y' - 3 y = 3 e^(2 t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e adicionar uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Assim, temos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as raízes são:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Observando o termo do lado direito ( ), vamos assumir uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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