integral x^3(x^4-1)^2 d x, u=x^4-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3(x^4-1)^2 dx. Essa é uma questão de cálculo, mais especificamente de integração usando substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que u = x^4 - 1 é uma boa escolha, pois facilita a expressão dentro do integral.

Passo 3

Com a substituição u = x^4 - 1, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando:
dudx = 4x^3
Isso significa que:
du = 4x^3 dx Rightarrow x^3 dx = du4

Passo 4

Agora, vamos substituir u e x^3 dx na integral original:
integral x^3(x^4-1)^2 dx = integral u^2 cdot du4 = 14 integral u^2 du

Passo 5

A integral integral u^2 du é uma integral básica. Vamos resolvê-la:
integral u^2 du = u^33 + C
Então:
14 integral u^2 du = 14 cdot u^33 + C = u^312 + C

Passo 6

Agora, substituímos u de volta para termos em função de x:
u^312 + C = (x^4 - 1)^312 + C

Resposta

A integral integral x^3(x^4-1)^2 dx é igual a (x^4 - 1)^312 + C.

Exercícios relacionados

(a) Mostre que qualquer função da forma
y = A senh(m x) + B cosh(m x)
satisfaz a equação diferencial y'' = m^2 y.
Determine a solução geral das equações:
(b) ddot(y) - 7 dot(y) = 0.
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(e) ddot(y) + 2 dot(y) + y = e^(-t).
g) (1 - 1/2) / (3/4) + (1/5) / (1 - 4/5)²