(a) Mostre que qualquer função da forma
satisfaz a equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente mostrar que qualquer função da forma
satisfaz a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente verificando se uma função proposta é solução dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que aparecem na expressão:
e
são funções hiperbólicas, conhecidas como seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente. Elas têm propriedades semelhantes às funções trigonométricas, mas são definidas em termos de exponenciais.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
. Sabemos que:
Então, a primeira derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Derivando novamente
:
Portanto, a segunda derivada de
é:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na equação diferencial
:
Observamos que
é igual a
, o que confirma que a função dada satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer função da forma
satisfaz a equação diferencial
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações:
(b) .
(b)
j)
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(e) .
(e)