(a) Mostre que qualquer função da forma
y = A senh(m x) + B cosh(m x)
satisfaz a equação diferencial y'' = m^2 y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente mostrar que qualquer função da forma
satisfaz a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente verificando se uma função proposta é solução dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que aparecem na expressão: e são funções hiperbólicas, conhecidas como seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente. Elas têm propriedades semelhantes às funções trigonométricas, mas são definidas em termos de exponenciais.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de . Sabemos que:
Então, a primeira derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Derivando novamente :
Portanto, a segunda derivada de é:

Passo 5

Agora, vamos substituir na equação diferencial :
Observamos que é igual a , o que confirma que a função dada satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Portanto, mostramos que qualquer função da forma
satisfaz a equação diferencial .

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