Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}-2 y=\frac{1}{\sqrt{y}}$$
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares, especificamente a Equação de Bernoulli, para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
A Equação de Bernoulli tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar que:
-
-
-
(porque )
Passo 3
Para resolver a Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. Definimos:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da Equação de Bernoulli na expressão para
:
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Finalmente, lembrando que
, temos a solução geral da equação de Bernoulli:
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Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}-2 y=x \sqrt{y}$$
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(3 x^{2}-3\right) \frac{d y}{d x}-\frac{x}{y^{2}}+(x+1) y=0$$
Calcule a derivada das seguintes funções:
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=x^{2} y^{3}$$