Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}-2 y=\frac{1}{\sqrt{y}}$$
d y/d x - 2 y = 1/raiz(y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares, especificamente a Equação de Bernoulli, para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

A Equação de Bernoulli tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar que:
  • (porque )

Passo 3

Para resolver a Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. Definimos:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo da Equação de Bernoulli na expressão para :
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de :

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear. Primeiro, encontramos o fator integrante :
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Finalmente, lembrando que , temos a solução geral da equação de Bernoulli:

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}-2 y=x \sqrt{y}$$
dy/dx - 2y = x * raiz(y)
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(3 x^{2}-3\right) \frac{d y}{d x}-\frac{x}{y^{2}}+(x+1) y=0$$
(3*x^2 - 3) * dy/dx - x/y^2 + (x + 1) * y = 0
Calcule a derivada das seguintes funções:
x^3 + 3
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=x^{2} y^{3}$$
x dy/dx + x^2 y = x^2 y^3