Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(3 x^{2}-3\right) \frac{d y}{d x}-\frac{x}{y^{2}}+(x+1) y=0$$
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação de Bernoulli. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais. Pra resolver, vamos precisar entender o que é uma equação de Bernoulli e o método pra resolvê-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que nos foi dada:
Nosso objetivo é descobrir uma expressão para
em termos de
.
Passo 3
Vamos começar reorganizando a equação para isolar o termo que contém a derivada,
. Assim, adicionamos
aos dois lados:
Passo 4
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para deixar
sozinho:
Simplificando, temos:
Passo 5
Observamos que essa equação se parece com a forma geral da equação de Bernoulli, que é:
Comparando com a nossa equação, identificamos:
Passo 6
Para resolver uma equação de Bernoulli, usamos uma substituição que a transforma em uma equação linear. Definimos:
Isso simplifica a equação e facilita a resolução.
Passo 7
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso nos ajuda a substituir
na equação original.
Passo 8
Substituindo
na equação de Bernoulli com a expressão em termos de
:
Simplificando:
Mas como
, substituímos e simplificamos:
Passo 9
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Onde:
Para resolver, usamos um fator integrante
, dado por:
Passo 10
Calculando o fator integrante:
Então:
Multiplicamos toda a equação linear por
e resolvemos para
, integrando ambos os lados. Após simplificar e resolver para
, chegamos à solução geral.
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli dada é:
Onde
é a constante de integração.