Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\left(3 x^{2}-3\right) \frac{d y}{d x}-\frac{x}{y^{2}}+(x+1) y=0$$
(3*x^2 - 3) * dy/dx - x/y^2 + (x + 1) * y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação de Bernoulli. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais. Pra resolver, vamos precisar entender o que é uma equação de Bernoulli e o método pra resolvê-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que nos foi dada:
Nosso objetivo é descobrir uma expressão para em termos de .

Passo 3

Vamos começar reorganizando a equação para isolar o termo que contém a derivada, . Assim, adicionamos aos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por para deixar sozinho:
Simplificando, temos:

Passo 5

Observamos que essa equação se parece com a forma geral da equação de Bernoulli, que é:
Comparando com a nossa equação, identificamos:

Passo 6

Para resolver uma equação de Bernoulli, usamos uma substituição que a transforma em uma equação linear. Definimos:
Isso simplifica a equação e facilita a resolução.

Passo 7

Calculamos a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a substituir na equação original.

Passo 8

Substituindo na equação de Bernoulli com a expressão em termos de :
Simplificando:
Mas como , substituímos e simplificamos:

Passo 9

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Onde:
Para resolver, usamos um fator integrante , dado por:

Passo 10

Calculando o fator integrante:
Então:
Multiplicamos toda a equação linear por e resolvemos para , integrando ambos os lados. Após simplificar e resolver para , chegamos à solução geral.

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli dada é:
Onde é a constante de integração.

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