Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=x^{2} y^{3}$$
x dy/dx + x^2 y = x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. As equações de Bernoulli são um tipo especial que a gente consegue resolver com uma técnica específica. Vamos identificar os elementos da equação e aplicar a substituição certa para chegar na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações de Bernoulli. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos identificar , e o expoente conforme a forma padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 4

Para resolver a equação de Bernoulli, usamos a substituição . Como , fica:

Passo 5

Vamos derivar em relação a :
Isso vai nos ajudar a substituir na equação original.

Passo 6

Substituindo da equação inicial na expressão para :
A equação original reescrita era:
Substituindo na derivada de :
Simplificando:
Agora temos uma equação linear em termos de .

Passo 7

Vamos resolver a equação linear:
Para isso, encontramos o fator integrante:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , temos , então:
Dividindo por :

Passo 8

Lembrando que , temos:
Invertendo os lados:
Podemos reescrever como , então:

Resposta

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