Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=x^{2} y^{3}$$
x dy/dx + x^2 y = x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. As equações de Bernoulli são um tipo especial que a gente consegue resolver com uma técnica específica. Vamos identificar os elementos da equação e aplicar a substituição certa para chegar na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações de Bernoulli. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos identificar , e o expoente conforme a forma padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 4

Para resolver a equação de Bernoulli, usamos a substituição . Como , fica:

Passo 5

Vamos derivar em relação a :
Isso vai nos ajudar a substituir na equação original.

Passo 6

Substituindo da equação inicial na expressão para :
A equação original reescrita era:
Substituindo na derivada de :
Simplificando:
Agora temos uma equação linear em termos de .

Passo 7

Vamos resolver a equação linear:
Para isso, encontramos o fator integrante:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , temos , então:
Dividindo por :

Passo 8

Lembrando que , temos:
Invertendo os lados:
Podemos reescrever como , então:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das seguintes funções:
x^3 + 3
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}-2 y=\frac{1}{\sqrt{y}}$$
d y/d x - 2 y = 1/raiz(y)
Sherlock Holmes e seu assistente Dr. Watson discutem o assassinato do ator Cornelius McHam. Ele foi ferido à bala na cabeça e o seu ator substituto, Barry Moore, foi encontrado sobre o corpo com a arma assassina na mão. Vamos escutá-los:
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de 77,9F e também anotou que a temperatura do termômetro da sala era de 72 graus F, às 11 h 06 min da noite o legista fez outra anotação de que a temperatura do corpo era de 75,6°F. Uma vez que a temperatura normal do corpo é de 98,6° F, e como Moore estava no palco das 6 h às 08 h da noite, Moore é obviamente inocente.
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=\left(x{2}-e{3 x^{2} / 2}\right) y^{4}$$
x dy/dx + x^2 y = (x^2 - e^(3 x^2 / 2)) y^4