Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=x^{2} y^{3}$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. As equações de Bernoulli são um tipo especial que a gente consegue resolver com uma técnica específica. Vamos identificar os elementos da equação e aplicar a substituição certa para chegar na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações de Bernoulli. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos identificar
,
e o expoente
conforme a forma padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 4
Para resolver a equação de Bernoulli, usamos a substituição
. Como
, fica:
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
:
Isso vai nos ajudar a substituir
na equação original.
Passo 6
Substituindo
da equação inicial na expressão para
:
A equação original reescrita era:
Substituindo na derivada de
:
Simplificando:
Agora temos uma equação linear em termos de
.
Passo 7
Vamos resolver a equação linear:
Para isso, encontramos o fator integrante:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Dividindo por
:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Invertendo os lados:
Podemos reescrever
como
, então:
Resposta
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Calcule a derivada das seguintes funções:
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}-2 y=\frac{1}{\sqrt{y}}$$
Sherlock Holmes e seu assistente Dr. Watson discutem o assassinato do ator Cornelius McHam. Ele foi ferido à bala na cabeça e o seu ator substituto, Barry Moore, foi encontrado sobre o corpo com a arma assassina na mão. Vamos escutá-los:
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de e também anotou que a temperatura do termômetro da sala era de
, às 11 h 06 min da noite o legista fez outra anotação de que a temperatura do corpo era de
. Uma vez que a temperatura normal do corpo é de
F, e como Moore estava no palco das 6 h às 08 h da noite, Moore é obviamente inocente.
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=\left(x{2}-e{3 x^{2} / 2}\right) y^{4}$$