Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=x^{2} y^{3}$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. As equações de Bernoulli são um tipo especial que a gente consegue resolver com uma técnica específica. Vamos identificar os elementos da equação e aplicar a substituição certa para chegar na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações de Bernoulli. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos identificar
,
e o expoente
conforme a forma padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 4
Para resolver a equação de Bernoulli, usamos a substituição
. Como
, fica:
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
:
Isso vai nos ajudar a substituir
na equação original.
Passo 6
Substituindo
da equação inicial na expressão para
:
A equação original reescrita era:
Substituindo na derivada de
:
Simplificando:
Agora temos uma equação linear em termos de
.
Passo 7
Vamos resolver a equação linear:
Para isso, encontramos o fator integrante:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Dividindo por
:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Invertendo os lados:
Podemos reescrever
como
, então: