Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}-2 y=x \sqrt{y}$$
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial conhecida como equação de Bernoulli:
Nossa missão é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de Bernoulli e como transformá-las para resolver. Então, vamos desmontar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação de Bernoulli na forma geral:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
-
-
-
(porque )
Entender esses componentes nos ajuda a manipular a equação para facilitar a resolução.
Passo 3
A equação de Bernoulli não é linear por causa do termo
. Mas podemos torná-la linear fazendo uma substituição. Vamos definir:
No nosso caso,
, então:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original. Primeiro, isolamos
:
Substituindo na expressão de
:
Mas
, então:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral no lado direito usando integração por partes. Seja:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula
:
Então,
Passo 8
Voltando à nossa equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Agora, para isolar
, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é: