Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}-2 y=x \sqrt{y}$$
dy/dx - 2y = x * raiz(y)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial conhecida como equação de Bernoulli:
Nossa missão é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de Bernoulli e como transformá-las para resolver. Então, vamos desmontar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação de Bernoulli na forma geral:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
  • (porque )
Entender esses componentes nos ajuda a manipular a equação para facilitar a resolução.

Passo 3

A equação de Bernoulli não é linear por causa do termo . Mas podemos torná-la linear fazendo uma substituição. Vamos definir:
No nosso caso, , então:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original. Primeiro, isolamos :
Substituindo na expressão de :
Mas , então:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral no lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula :
Então,

Passo 8

Voltando à nossa equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Agora, para isolar , elevamos ambos os lados ao quadrado:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:

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