Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{y^{2}}{x}$$
x dy/dx + y/x = y^2/x

Passo 1

Vamos resolver a equação de Bernoulli dada:
Matéria envolvida: Equações diferenciais de Bernoulli.
O que precisamos: Conhecer a forma geral das equações de Bernoulli e os métodos para resolvê-las, como a substituição apropriada para transformar a equação em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das equações de Bernoulli, que é:
Dividindo toda a equação original por , temos:
Aqui, identificamos que , e .

Passo 3

Como a equação de Bernoulli tem o termo , vamos fazer uma substituição para torná-la uma equação linear. Definimos:
Agora, derivamos em relação a :
Isso nos ajudará a substituir na equação original.

Passo 4

Substituindo e na equação reescrita, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Essa etapa simplifica a equação para facilitar a resolução.

Passo 5

Agora, rearranjamos a equação para isolar :
Essa é uma equação diferencial linear na forma padrão:
Onde e .

Passo 6

Para resolver a equação linear, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica a equação para facilitar a integração.

Passo 7

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Fazendo a substituição , temos . A integral se torna:
Portanto:

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 10

Invertendo ambos os lados para encontrar :

Resposta

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