Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{y^{2}}{x}$$
Passo 1
Vamos resolver a equação de Bernoulli dada:
Matéria envolvida: Equações diferenciais de Bernoulli.
O que precisamos: Conhecer a forma geral das equações de Bernoulli e os métodos para resolvê-las, como a substituição apropriada para transformar a equação em uma equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das equações de Bernoulli, que é:
Dividindo toda a equação original por
, temos:
Aqui, identificamos que
,
e
.
Passo 3
Como a equação de Bernoulli tem o termo
, vamos fazer uma substituição para torná-la uma equação linear. Definimos:
Agora, derivamos
em relação a
:
Isso nos ajudará a substituir na equação original.
Passo 4
Substituindo
e
na equação reescrita, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa etapa simplifica a equação para facilitar a resolução.
Passo 5
Agora, rearranjamos a equação para isolar
:
Essa é uma equação diferencial linear na forma padrão:
Onde
e
.
Passo 6
Para resolver a equação linear, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica a equação para facilitar a integração.
Passo 7
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Fazendo a substituição
, temos
. A integral se torna:
Portanto:
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Invertendo ambos os lados para encontrar
: